PROPIEDADES DE LOS LIMITE
Límite de una constante
Límite de una suma
Límite de un producto
Límite de un cociente
Límite de una potencia
Límite de una función
g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.
Límite de una raíz
viernes, 14 de agosto de 2009
TEOREMA ( UNICIDAD Y LATERALIDAD).
Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico. Demostrar teoremas es el asunto central en la matemática.
Un teorema generalmente posee un número de condiciones que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano y que se denominan respuesta. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones en las que se trabaja. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión.
UNICIDAD.
Se llamará corolario a una afirmación lógica que sea consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema previamente demostrado.
Este teorema afirma que, en ciertas condiciones sobre f(x,y), el problema con valor incial:
Înter%y’ = f (x,y), y(x0) = y0
tiene solucion unica en algun intervalo que contega el punto x0.
En algunos casos la exitencia de una solucion del problema con valor incial puede establcercese de manera directa al resolver realmente el problema y exhibir una formula para solucion. Sin embargo, en general, este enfoque indirecto que establece la exitencia de una solucion de las ecuaciones, pero que, por lo general no proporciona un medio practico para hallarla.
LATERALIDAD.
Predominio de una mano u otra, de un ojo u otro. Determina
diestro o zurdo, manual u ocular. (Pieron)
Esta dominancia existe también en el miembro inferior. Es la predominancia de un
segmento sobre el otro. Al haber predominio es un hecho cuantitativo.
Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico. Demostrar teoremas es el asunto central en la matemática.
Un teorema generalmente posee un número de condiciones que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano y que se denominan respuesta. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones en las que se trabaja. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión.
UNICIDAD.
Se llamará corolario a una afirmación lógica que sea consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema previamente demostrado.
Este teorema afirma que, en ciertas condiciones sobre f(x,y), el problema con valor incial:
Înter%y’ = f (x,y), y(x0) = y0
tiene solucion unica en algun intervalo que contega el punto x0.
En algunos casos la exitencia de una solucion del problema con valor incial puede establcercese de manera directa al resolver realmente el problema y exhibir una formula para solucion. Sin embargo, en general, este enfoque indirecto que establece la exitencia de una solucion de las ecuaciones, pero que, por lo general no proporciona un medio practico para hallarla.
LATERALIDAD.
Predominio de una mano u otra, de un ojo u otro. Determina
diestro o zurdo, manual u ocular. (Pieron)
Esta dominancia existe también en el miembro inferior. Es la predominancia de un
segmento sobre el otro. Al haber predominio es un hecho cuantitativo.
CONCEPTO DE LIMITE.
Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una fórmula o expresión analítica y su gráfica. Según la expresión analítica clasificamos las funciones de la siguiente forma:
ALGEBRAICAS: polinomicas
racionales
irracionales
TRANSCENDENTES: exponenciales
logaritmicas
trigonometrica
Una cosa, por encima de todo, debe quedar clara con estos ejemplos: una función es una regla cualquiera que hace corresponder números a ciertos otros números, no necesariamente una regla que pueda ser expresada mediante una fórmula algebraica ...; ni tampoco necesariamente una regla a la que sea posible encontrar una aplicación en la práctica. Más aún, la regla puede prescindir de algunos números y puede incluso no estar del todo claro a qué números se aplica la función... El conjunto de los números a los cuales se aplica una función recibe el nombre de dominio de la función...
La práctica corriente consiste en designar una función mediante una letra. Por razones obvias se emplea preferentemente la letra 'f ', lo cual hace que sigan en orden de preferencia las letras 'g' y 'h', pero en fin de cuentas puede servir cualquier letra (e incluso cualquier símbolo razonable) sin excluir la 'x' y la 'y', si bien estas letras suelen reservarse para designar números. Si f es la función, entonces el número que f asocia con {el número} x se designa por f (x); este símbolo se lee 'f de x' y se le da con frecuencia el nombre de valor de f en x...
Límites
[Entre todos los conceptos que se presentan en el cálculo infinitesimal, el de límite es, a no dudarlo, el más importante, y quizás el más difícil... lo que vamos a definir no es la palabra 'límite', sino la noción de función que tiende hacia un límite. (Spivak, 99)]
[el análisis matemático moderno utiliza un método especial, que fue elaborado en el transcurso de muchos siglos, y constituye ahora su instrumento básico. Nos referimos al método de los infinitésimos o, lo que en esencia es lo mismo, de los límites. (Aleksandrov, 1, 108)]
Definición provisional
[La función f tiende hacia el límite l cerca de a, si se puede hacer que f (x) esté tan cerca como queramos de l haciendo que x esté suficientemente cerca de a, pero siendo distinto de a... solamente hace falta que f (x) esté próximo a l cuando x está próximo a a pero es distinto de a. Sencillamente no nos interesa el valor de f (a) ni siquiera la cuestión de si f (a) está definido. (Spivak, 99)]
Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una fórmula o expresión analítica y su gráfica. Según la expresión analítica clasificamos las funciones de la siguiente forma:
ALGEBRAICAS: polinomicas
racionales
irracionales
TRANSCENDENTES: exponenciales
logaritmicas
trigonometrica
Una cosa, por encima de todo, debe quedar clara con estos ejemplos: una función es una regla cualquiera que hace corresponder números a ciertos otros números, no necesariamente una regla que pueda ser expresada mediante una fórmula algebraica ...; ni tampoco necesariamente una regla a la que sea posible encontrar una aplicación en la práctica. Más aún, la regla puede prescindir de algunos números y puede incluso no estar del todo claro a qué números se aplica la función... El conjunto de los números a los cuales se aplica una función recibe el nombre de dominio de la función...
La práctica corriente consiste en designar una función mediante una letra. Por razones obvias se emplea preferentemente la letra 'f ', lo cual hace que sigan en orden de preferencia las letras 'g' y 'h', pero en fin de cuentas puede servir cualquier letra (e incluso cualquier símbolo razonable) sin excluir la 'x' y la 'y', si bien estas letras suelen reservarse para designar números. Si f es la función, entonces el número que f asocia con {el número} x se designa por f (x); este símbolo se lee 'f de x' y se le da con frecuencia el nombre de valor de f en x...
Límites
[Entre todos los conceptos que se presentan en el cálculo infinitesimal, el de límite es, a no dudarlo, el más importante, y quizás el más difícil... lo que vamos a definir no es la palabra 'límite', sino la noción de función que tiende hacia un límite. (Spivak, 99)]
[el análisis matemático moderno utiliza un método especial, que fue elaborado en el transcurso de muchos siglos, y constituye ahora su instrumento básico. Nos referimos al método de los infinitésimos o, lo que en esencia es lo mismo, de los límites. (Aleksandrov, 1, 108)]
Definición provisional
[La función f tiende hacia el límite l cerca de a, si se puede hacer que f (x) esté tan cerca como queramos de l haciendo que x esté suficientemente cerca de a, pero siendo distinto de a... solamente hace falta que f (x) esté próximo a l cuando x está próximo a a pero es distinto de a. Sencillamente no nos interesa el valor de f (a) ni siquiera la cuestión de si f (a) está definido. (Spivak, 99)]
importancia de los limites y la continuidad en la matematica
los limites son importantes por que nos ayudan a resolver eficasmente los problemas que se nos presentan en un ejercicio del tema determinado.cada limite no puede dar una solucion diferente, por ejemplo en un ejercicio q resolvamos podriamos conseguir con que podria ser una funcion indeterminada, la cual es cuando el resultado odtenido es igual a cero sobre cero 0/0.como tambien podemos encontrar funciones q si tengan soluciones o funciones determinadas, es decir nos ayuda a encontrarle alguna solucion posible a una funcion.
los limites son importantes por que nos ayudan a resolver eficasmente los problemas que se nos presentan en un ejercicio del tema determinado.cada limite no puede dar una solucion diferente, por ejemplo en un ejercicio q resolvamos podriamos conseguir con que podria ser una funcion indeterminada, la cual es cuando el resultado odtenido es igual a cero sobre cero 0/0.como tambien podemos encontrar funciones q si tengan soluciones o funciones determinadas, es decir nos ayuda a encontrarle alguna solucion posible a una funcion.
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ.
Leipzig, actual Alemania, 1646-Hannover, id., 1716) Filósofo y matemático alemán. Su padre, profesor de filosofía moral en la Universidad de Leipzig, falleció cuando Leibniz contaba seis años. Capaz de escribir poemas en latín a los ocho años, a los doce empezó a interesarse por la lógica aristotélica a través del estudio de la filosofía escolástica.
En 1661 ingresó en la universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos años después se trasladó a la Universidad de Jena, donde estudió matemáticas con E. Weigel. En 1666, la Universidad de Leipzig rechazó, a causa de su juventud, concederle el título de doctor, que Leibniz obtuvo sin embargo en Altdorf; tras rechazar el ofrecimiento que allí se le hizo de una cátedra, en 1667 entró al servicio del arzobispo elector de Maguncia como diplomático, y en los años siguientes desplegó una intensa actividad en los círculos cortesanos y eclesiásticos.
Representante por excelencia del racionalismo, Leibniz situó el criterio de verdad del conocimiento en su necesidad intríseca y no en su adecuación con la realidad; el modelo de esa necesidad lo proporcionan las verdades analíticas de las matemáticas. Junto a estas verdades de razón, existen las verdades de hecho, que son contingentes y no manifiestan por sí mismas su verdad.
El problema de encontrar un fundamento racional para estas últimas lo resolvió afirmando que su contingencia era consecuencia del carácter finito de la mente humana, incapaz de analizarlas por entero en las infinitas determinaciones de los conceptos que en ellas intervienen, ya que cualquier cosa concreta, al estar relacionada con todas las demás siquiera por ser diferente de ellas, posee un conjunto de propiedades infinito.
Leipzig, actual Alemania, 1646-Hannover, id., 1716) Filósofo y matemático alemán. Su padre, profesor de filosofía moral en la Universidad de Leipzig, falleció cuando Leibniz contaba seis años. Capaz de escribir poemas en latín a los ocho años, a los doce empezó a interesarse por la lógica aristotélica a través del estudio de la filosofía escolástica.
En 1661 ingresó en la universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos años después se trasladó a la Universidad de Jena, donde estudió matemáticas con E. Weigel. En 1666, la Universidad de Leipzig rechazó, a causa de su juventud, concederle el título de doctor, que Leibniz obtuvo sin embargo en Altdorf; tras rechazar el ofrecimiento que allí se le hizo de una cátedra, en 1667 entró al servicio del arzobispo elector de Maguncia como diplomático, y en los años siguientes desplegó una intensa actividad en los círculos cortesanos y eclesiásticos.
Representante por excelencia del racionalismo, Leibniz situó el criterio de verdad del conocimiento en su necesidad intríseca y no en su adecuación con la realidad; el modelo de esa necesidad lo proporcionan las verdades analíticas de las matemáticas. Junto a estas verdades de razón, existen las verdades de hecho, que son contingentes y no manifiestan por sí mismas su verdad.
El problema de encontrar un fundamento racional para estas últimas lo resolvió afirmando que su contingencia era consecuencia del carácter finito de la mente humana, incapaz de analizarlas por entero en las infinitas determinaciones de los conceptos que en ellas intervienen, ya que cualquier cosa concreta, al estar relacionada con todas las demás siquiera por ser diferente de ellas, posee un conjunto de propiedades infinito.
ISAAC NEWTON.
Nació el 25 de diciembre de 1642 (correspondiente al 4 de enero de 1643 del nuevo calendario) en Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra; fue hijo de dos campesinos puritanos, aunque nunca llegó a conocer a su padre, pues había muerto en octubre de 1642. Cuando su madre volvió a casarse, lo dejó a cargo de su abuela, con quien vivió hasta la muerte de su padrastro en 1653. Realizó sus estudios en la Free Grammar School en Grantham y a los dieciocho años ingresó en la Universidad de Cambridge para continuar sus estudios. Su primer tutor oficial fue Benjamín Pulleyn. Newton nunca asistió regularmente a sus clases, ya que su principal interés era la biblioteca. Se graduó en el Trinity College como un estudiante mediocre debido a su formación principalmente autodidacta, leyendo algunos de los libros más importantes de matemática y filosofía natural de la época. En 1663 Newton leyó la Clavis mathematicae de William Oughtred, la Geometría de Descartes, de Frans van Schooten, la Óptica de Kepler, la Opera mathematica de Viète, editadas por Van Schooten y, en 1664, la Aritmética de John Wallis, que le serviría como introducción a sus investigaciones sobre las series infinitas, el teorema del binomio y ciertas cuadraturas.
En 1663 conoció a Isaac Barrow, quien le dio clase como su primer profesor Lucasiano de matemática. En la misma época entró en contacto con los trabajos de Galileo, Fermat, Huygens y otros a partir, probablemente, de la edición de 1659 de la Geometría de Descartes por Van Schooten. Newton superó rápidamente a Barrow, quien solicitaba su ayuda frecuentemente en problemas matemáticos.
Ley de gravitación universal [editar]
Los Principia de Newton.
Bernard Cohen afirma que “El momento culminante de la Revolución científica fue el descubrimiento realizado por Isaac Newton de la ley de la gravitación universal.” Con una simple ley, Newton dio a entender los fenómenos físicos más importantes del universo observable, explicando las tres leyes de Kepler. La ley de la gravitación universal descubierta por Newton se escribe
,
donde F es la fuerza, G es una constante que determina la intensidad de la fuerza y que sería medida años más tarde por Henry Cavendish en su célebre experimento de la balanza de torsión, m1 y m2 son las masas de dos cuerpos que se atraen entre sí y r es la distancia entre ambos cuerpos, siendo el vector unitario que indica la dirección del movimiento (si bien existe cierta polémica acerca de que Cavendish hubiera medido realmente G, pues algunos estudiosos afirman que simplemente midió la masa terrestre).
La ley de gravitación universal nació en 1685 como culminación de una serie de estudios y trabajos iniciados mucho antes. En 1679 Robert Hooke introdujo a Newton en el problema de analizar una trayectoria curva. Cuando Hooke se convirtió en secretario de la Royal Society quiso entablar una correspondencia filosófica con Newton. En su primera carta planteó dos cuestiones que interesarían profundamente a Newton. Hasta entonces científicos y filósofos como Descartes y Huygens analizaban el movimiento curvilíneo con la fuerza centrífuga, sin embargo Hooke proponía “componer los movimientos celestes de los planetas a partir de un movimiento rectilíneo a lo largo de la tangente y un movimiento atractivo, hacia el cuerpo central.” Sugiere que la fuerza centrípeta hacia el Sol varía en razón inversa al cuadrado de las distancias. Newton contesta que él nunca había oído hablar de estas hipótesis.
En otra carta de Hooke, escribe: “Nos queda ahora por conocer las propiedades de una línea curva... tomándole a todas las distancias en proporción cuadrática inversa.” En otras palabras, Hooke deseaba saber cuál es la curva resultante de un objeto al que se le imprime una fuerza inversa al cuadrado de la distancia. Hooke termina esa carta diciendo: “No dudo que usted, con su excelente método, encontrará fácilmente cuál ha de ser esta curva.”
En 1684 Newton informó a su amigo Edmund Halley de que había resuelto el problema de la fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Newton redactó estos cálculos en el tratado “De Motu” y los desarrolló ampliamente en el libro “Philosophiae naturalis principia mathematica”. Aunque muchos astrónomos no utilizaban las leyes de Kepler, Newton intuyó su gran importancia y las engrandeció demostrándolas a partir de su ley de la gravitación universal.
Sin embargo, la gravitación universal es mucho más que una fuerza dirigida hacia el Sol. Es también un efecto de los planetas sobre el Sol y sobre todos los objetos del Universo. Newton intuyó fácilmente a partir de su tercera ley de la dinámica que si un objeto atrae a un segundo objeto, este segundo también atrae al primero con la misma fuerza. Newton se percató de que el movimiento de los cuerpos celestes no podía ser regular. Afirmó: “los planetas ni se mueven exactamente en elipses, ni giran dos veces según la misma órbita”. Para Newton, ferviente religioso, la estabilidad de las órbitas de los planetas implicaba reajustes continuos sobre sus trayectorias impuestas por el poder divino.
Las leyes de la Dinámica [editar]
Artículo principal: Leyes de Newton
Otro de los temas tratados en los Principa fueron las tres leyes de la Dinámica o Leyes de Newton, en las que explicaba el movimiento de los cuerpos así como sus efectos y causas. Éstas son:
La primera ley de Newton o ley de la inercia
"Todo cuerpo preservará en sus estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado por fuerzas impresas a cambiar su estado"
En esta ley, Newton afirma que un cuerpo sobre el que no actúan fuerzas extrañas (o las que actúan se anulan entre sí) permanecerá en reposo o moviéndose a velocidad constante.
Esta idea, que ya había sido enunciada por Descartes y Galileo, suponía romper con la física aristotélica, según la cual un cuerpo sólo se mantenía en movimiento mientras actuara una fuerza sobre él.
La segunda ley de Newton o ley de la interacción y la fuerza
"El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime"
Esta ley explica las condiciones necesarias para modificar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo. Según Newton estas modificaciones sólo tienen lugar si se produce una interacción entre dos cuerpos, entrando o no en contacto (por ejemplo, la gravedad actúa sin que haya contacto físico). Según la segunda ley, las interacciones producen variaciones en el momento lineal, a razón de
Siendo la fuerza, el diferencial del momento lineal, dt el diferencial del tiempo.
La segunda ley puede resumirse en la fórmula
,
siendo la fuerza (medida en newtons) que hay que aplicar sobre un cuerpo de masa m para provocar una aceleración .
La tercera ley de Newton o ley de acción-reacción
"Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria; las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentidos opuestos"
Esta ley se refleja constantemente en la naturaleza: la sensación de dolor que se siente al golpear una mesa, puesto que la mesa ejerce una fuerza sobre ti con la misma intensidad; el impulso que consigue un nadador al ejercer una fuerza sobre el borde de la piscina, siendo la fuerza que le impulsa la reacción a la fuerza que él ha ejercido previamente...
Nació el 25 de diciembre de 1642 (correspondiente al 4 de enero de 1643 del nuevo calendario) en Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra; fue hijo de dos campesinos puritanos, aunque nunca llegó a conocer a su padre, pues había muerto en octubre de 1642. Cuando su madre volvió a casarse, lo dejó a cargo de su abuela, con quien vivió hasta la muerte de su padrastro en 1653. Realizó sus estudios en la Free Grammar School en Grantham y a los dieciocho años ingresó en la Universidad de Cambridge para continuar sus estudios. Su primer tutor oficial fue Benjamín Pulleyn. Newton nunca asistió regularmente a sus clases, ya que su principal interés era la biblioteca. Se graduó en el Trinity College como un estudiante mediocre debido a su formación principalmente autodidacta, leyendo algunos de los libros más importantes de matemática y filosofía natural de la época. En 1663 Newton leyó la Clavis mathematicae de William Oughtred, la Geometría de Descartes, de Frans van Schooten, la Óptica de Kepler, la Opera mathematica de Viète, editadas por Van Schooten y, en 1664, la Aritmética de John Wallis, que le serviría como introducción a sus investigaciones sobre las series infinitas, el teorema del binomio y ciertas cuadraturas.
En 1663 conoció a Isaac Barrow, quien le dio clase como su primer profesor Lucasiano de matemática. En la misma época entró en contacto con los trabajos de Galileo, Fermat, Huygens y otros a partir, probablemente, de la edición de 1659 de la Geometría de Descartes por Van Schooten. Newton superó rápidamente a Barrow, quien solicitaba su ayuda frecuentemente en problemas matemáticos.
Ley de gravitación universal [editar]
Los Principia de Newton.
Bernard Cohen afirma que “El momento culminante de la Revolución científica fue el descubrimiento realizado por Isaac Newton de la ley de la gravitación universal.” Con una simple ley, Newton dio a entender los fenómenos físicos más importantes del universo observable, explicando las tres leyes de Kepler. La ley de la gravitación universal descubierta por Newton se escribe
,
donde F es la fuerza, G es una constante que determina la intensidad de la fuerza y que sería medida años más tarde por Henry Cavendish en su célebre experimento de la balanza de torsión, m1 y m2 son las masas de dos cuerpos que se atraen entre sí y r es la distancia entre ambos cuerpos, siendo el vector unitario que indica la dirección del movimiento (si bien existe cierta polémica acerca de que Cavendish hubiera medido realmente G, pues algunos estudiosos afirman que simplemente midió la masa terrestre).
La ley de gravitación universal nació en 1685 como culminación de una serie de estudios y trabajos iniciados mucho antes. En 1679 Robert Hooke introdujo a Newton en el problema de analizar una trayectoria curva. Cuando Hooke se convirtió en secretario de la Royal Society quiso entablar una correspondencia filosófica con Newton. En su primera carta planteó dos cuestiones que interesarían profundamente a Newton. Hasta entonces científicos y filósofos como Descartes y Huygens analizaban el movimiento curvilíneo con la fuerza centrífuga, sin embargo Hooke proponía “componer los movimientos celestes de los planetas a partir de un movimiento rectilíneo a lo largo de la tangente y un movimiento atractivo, hacia el cuerpo central.” Sugiere que la fuerza centrípeta hacia el Sol varía en razón inversa al cuadrado de las distancias. Newton contesta que él nunca había oído hablar de estas hipótesis.
En otra carta de Hooke, escribe: “Nos queda ahora por conocer las propiedades de una línea curva... tomándole a todas las distancias en proporción cuadrática inversa.” En otras palabras, Hooke deseaba saber cuál es la curva resultante de un objeto al que se le imprime una fuerza inversa al cuadrado de la distancia. Hooke termina esa carta diciendo: “No dudo que usted, con su excelente método, encontrará fácilmente cuál ha de ser esta curva.”
En 1684 Newton informó a su amigo Edmund Halley de que había resuelto el problema de la fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Newton redactó estos cálculos en el tratado “De Motu” y los desarrolló ampliamente en el libro “Philosophiae naturalis principia mathematica”. Aunque muchos astrónomos no utilizaban las leyes de Kepler, Newton intuyó su gran importancia y las engrandeció demostrándolas a partir de su ley de la gravitación universal.
Sin embargo, la gravitación universal es mucho más que una fuerza dirigida hacia el Sol. Es también un efecto de los planetas sobre el Sol y sobre todos los objetos del Universo. Newton intuyó fácilmente a partir de su tercera ley de la dinámica que si un objeto atrae a un segundo objeto, este segundo también atrae al primero con la misma fuerza. Newton se percató de que el movimiento de los cuerpos celestes no podía ser regular. Afirmó: “los planetas ni se mueven exactamente en elipses, ni giran dos veces según la misma órbita”. Para Newton, ferviente religioso, la estabilidad de las órbitas de los planetas implicaba reajustes continuos sobre sus trayectorias impuestas por el poder divino.
Las leyes de la Dinámica [editar]
Artículo principal: Leyes de Newton
Otro de los temas tratados en los Principa fueron las tres leyes de la Dinámica o Leyes de Newton, en las que explicaba el movimiento de los cuerpos así como sus efectos y causas. Éstas son:
La primera ley de Newton o ley de la inercia
"Todo cuerpo preservará en sus estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado por fuerzas impresas a cambiar su estado"
En esta ley, Newton afirma que un cuerpo sobre el que no actúan fuerzas extrañas (o las que actúan se anulan entre sí) permanecerá en reposo o moviéndose a velocidad constante.
Esta idea, que ya había sido enunciada por Descartes y Galileo, suponía romper con la física aristotélica, según la cual un cuerpo sólo se mantenía en movimiento mientras actuara una fuerza sobre él.
La segunda ley de Newton o ley de la interacción y la fuerza
"El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime"
Esta ley explica las condiciones necesarias para modificar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo. Según Newton estas modificaciones sólo tienen lugar si se produce una interacción entre dos cuerpos, entrando o no en contacto (por ejemplo, la gravedad actúa sin que haya contacto físico). Según la segunda ley, las interacciones producen variaciones en el momento lineal, a razón de
Siendo la fuerza, el diferencial del momento lineal, dt el diferencial del tiempo.
La segunda ley puede resumirse en la fórmula
,
siendo la fuerza (medida en newtons) que hay que aplicar sobre un cuerpo de masa m para provocar una aceleración .
La tercera ley de Newton o ley de acción-reacción
"Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria; las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentidos opuestos"
Esta ley se refleja constantemente en la naturaleza: la sensación de dolor que se siente al golpear una mesa, puesto que la mesa ejerce una fuerza sobre ti con la misma intensidad; el impulso que consigue un nadador al ejercer una fuerza sobre el borde de la piscina, siendo la fuerza que le impulsa la reacción a la fuerza que él ha ejercido previamente...
JOHANNES KEPLER.
Kepler nació en el seno de una familia de religión protestante luterana, instalada en la ciudad de Weil-der-Stadt en Alemania (Baden-Wurtemberg). Su abuelo había sido el alcalde de la ciudad, pero cuando nació Kepler, la familia se encontraba en decadencia. Su padre, Heinrich Kepler, era mercenario en el ejército del Duque de Württemberg y, siempre en campaña, raramente estaba presente en su domicilio. Su madre, Catherine, que llevaba una casa de huéspedes, era una curandera y herbalista, que más tarde será acusada de brujería. Kepler, nacido prematuramente a los siete meses de embarazo e hipocondríaco de naturaleza endeble, sufrió toda su vida una salud frágil. A la edad de tres años, contrae la viruela, lo que, entre otras secuelas, debilitará su vista severamente. A pesar de su salud, fue un niño brillante que gustaba impresionar a los viajeros en el hospedaje de su madre con sus fenomenales facultades matemáticas.
Heinrich Kepler tuvo además otros dos hijos menores: Margarette, con la que Kepler se sentía muy próximo, y Christopher, que le fue siempre antipático. Del 1574 al 1576, vivió con su Heinrich - un epiléptico - en casa de sus abuelos mientras que su padre estaba en una campaña y su madre se había ido en su búsqueda
Artículo principal: Leyes de Kepler
LAS TRES LEYES DE KEPLER.
Durante su estancia con Tycho le fue imposible acceder a los datos de los movimientos aparentes de los planetas ya que Tycho se negaba a dar esa información. Ya en el lecho de muerte de Tycho y después a través de su familia, Kepler accedió a los datos de las órbitas de los planetas que durante años se habían ido recolectando. Gracias a esos datos, los más precisos y abundantes de la época, Kepler pudo ir deduciendo las órbitas reales planetarias. Afortunadamente, Tycho se centró en Marte, con una elíptica muy acusada, de otra manera le hubiera sido imposible a Kepler darse cuenta de que las órbitas de los planetas eran elípticas. Inicialmente Kepler intentó el círculo, por ser la más perfecta de las trayectorias, pero los datos observados impedían un correcto ajuste, lo que entristeció a Kepler ya que no podía saltarse un pertinaz error de ocho minutos de arco. Kepler comprendió que debía abandonar el círculo, lo que implicaba abandonar la idea de un "mundo perfecto". De profundas creencias religiosas, le costó llegar a la conclusión de que la tierra era un planeta imperfecto, asolado por las guerras, en esa misma misiva incluyó la cita clave: "Si los planetas son lugares imperfectos, ¿por qué no deben de serlo las órbitas de las mismas?". Finalmente utilizó la fórmula de la elipse, una rara figura descrita por Apolonio de Pérgamo una de las obras salvadas de la destrucción de la biblioteca de Alejandría. Descubrió que encajaba perfectamente en las mediciones de Tycho.
Había descubierto la primera ley de Kepler:
Los planetas tienen movimientos elípticos alrededor del Sol, estando éste situado en uno de los focos de la elipse.
Después de ese importante salto, en donde por primera vez los hechos se anteponían a los deseos y los prejuicios sobre la naturaleza del mundo. Kepler se dedicó simplemente a observar los datos y sacar conclusiones ya sin ninguna idea preconcebida. Pasó a comprobar la velocidad del planeta a través de las órbitas llegando a la segunda ley:
Los planetas, en su recorrido por la elipse, barren áreas iguales en el mismo tiempo.
Durante mucho tiempo, Kepler solo pudo confirmar estas dos leyes en el resto de planetas. Aun así fue un logro espectacular, pero faltaba relacionar las trayectorias de los planetas entre sí. Tras varios años, descubrió la tercera e importantísima ley del movimiento planetario:
El cuadrado de los períodos de los planetas es proporcional al cubo de la distancia media al Sol.
Esta ley, llamada también ley armónica, junto con las otras leyes permitía ya unificar, predecir y comprender todos los movimientos de los astros. Marcando un hito en la historia de la ciencia, Kepler fue el último astrólogo y se convirtió en el primer astrónomo, desechando la fe y las creencias y explicando los fenómenos por la mera observación.
Kepler nació en el seno de una familia de religión protestante luterana, instalada en la ciudad de Weil-der-Stadt en Alemania (Baden-Wurtemberg). Su abuelo había sido el alcalde de la ciudad, pero cuando nació Kepler, la familia se encontraba en decadencia. Su padre, Heinrich Kepler, era mercenario en el ejército del Duque de Württemberg y, siempre en campaña, raramente estaba presente en su domicilio. Su madre, Catherine, que llevaba una casa de huéspedes, era una curandera y herbalista, que más tarde será acusada de brujería. Kepler, nacido prematuramente a los siete meses de embarazo e hipocondríaco de naturaleza endeble, sufrió toda su vida una salud frágil. A la edad de tres años, contrae la viruela, lo que, entre otras secuelas, debilitará su vista severamente. A pesar de su salud, fue un niño brillante que gustaba impresionar a los viajeros en el hospedaje de su madre con sus fenomenales facultades matemáticas.
Heinrich Kepler tuvo además otros dos hijos menores: Margarette, con la que Kepler se sentía muy próximo, y Christopher, que le fue siempre antipático. Del 1574 al 1576, vivió con su Heinrich - un epiléptico - en casa de sus abuelos mientras que su padre estaba en una campaña y su madre se había ido en su búsqueda
Artículo principal: Leyes de Kepler
LAS TRES LEYES DE KEPLER.
Durante su estancia con Tycho le fue imposible acceder a los datos de los movimientos aparentes de los planetas ya que Tycho se negaba a dar esa información. Ya en el lecho de muerte de Tycho y después a través de su familia, Kepler accedió a los datos de las órbitas de los planetas que durante años se habían ido recolectando. Gracias a esos datos, los más precisos y abundantes de la época, Kepler pudo ir deduciendo las órbitas reales planetarias. Afortunadamente, Tycho se centró en Marte, con una elíptica muy acusada, de otra manera le hubiera sido imposible a Kepler darse cuenta de que las órbitas de los planetas eran elípticas. Inicialmente Kepler intentó el círculo, por ser la más perfecta de las trayectorias, pero los datos observados impedían un correcto ajuste, lo que entristeció a Kepler ya que no podía saltarse un pertinaz error de ocho minutos de arco. Kepler comprendió que debía abandonar el círculo, lo que implicaba abandonar la idea de un "mundo perfecto". De profundas creencias religiosas, le costó llegar a la conclusión de que la tierra era un planeta imperfecto, asolado por las guerras, en esa misma misiva incluyó la cita clave: "Si los planetas son lugares imperfectos, ¿por qué no deben de serlo las órbitas de las mismas?". Finalmente utilizó la fórmula de la elipse, una rara figura descrita por Apolonio de Pérgamo una de las obras salvadas de la destrucción de la biblioteca de Alejandría. Descubrió que encajaba perfectamente en las mediciones de Tycho.
Había descubierto la primera ley de Kepler:
Los planetas tienen movimientos elípticos alrededor del Sol, estando éste situado en uno de los focos de la elipse.
Después de ese importante salto, en donde por primera vez los hechos se anteponían a los deseos y los prejuicios sobre la naturaleza del mundo. Kepler se dedicó simplemente a observar los datos y sacar conclusiones ya sin ninguna idea preconcebida. Pasó a comprobar la velocidad del planeta a través de las órbitas llegando a la segunda ley:
Los planetas, en su recorrido por la elipse, barren áreas iguales en el mismo tiempo.
Durante mucho tiempo, Kepler solo pudo confirmar estas dos leyes en el resto de planetas. Aun así fue un logro espectacular, pero faltaba relacionar las trayectorias de los planetas entre sí. Tras varios años, descubrió la tercera e importantísima ley del movimiento planetario:
El cuadrado de los períodos de los planetas es proporcional al cubo de la distancia media al Sol.
Esta ley, llamada también ley armónica, junto con las otras leyes permitía ya unificar, predecir y comprender todos los movimientos de los astros. Marcando un hito en la historia de la ciencia, Kepler fue el último astrólogo y se convirtió en el primer astrónomo, desechando la fe y las creencias y explicando los fenómenos por la mera observación.
Teoremas sobre límites
Teorema
Unicidad del límite de una función
Si una función tiene límite es único. H) Existe limx->af(x)=bT) b es único Demostración
La demostración se hace por reducción al absurdo.Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.Suponemos que b > c.
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε.
limx->af(x)=c => (por def. de límite) para todo Ec,ε existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε.
Consideremos un ε tal que Eb,ε ∩ Ec,ε = Ø.
Queremos que c+ε <> ε < (b - c)/2
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple
f(x) pertenece a Eb,ε
f(x) pertenece a Ec,ε
Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.Absurdo de suponer b ≠ c.Por lo tanto b = c.
Definición
Límites laterales
Límite de f(x) en el punto a por la derecha :limx->a+f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) - b < ε.Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :limx->a-f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) - b < ε.
Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ). x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a).
A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha.
Ejemplof(x) = x2 si x <= 2
-2x + 1 si x > 2
limx->2-f(x)=4limx->2+f(x)=-3No existe limx->2f(x)
Teorema
Existe el límite finito de una función <=> los límites laterales son iguales.H) limx->af(x)=bT) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b
Conservación del signo
Para valores de x suficientemente próximos al valor de tendencia, la función tiene el mismo signo que su límite.H) limx->af(x)=b > 0T) Existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > 0 Demostración:
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε. Es decir, b - ε < f(x) < b + ε.
Consideremos ε < b =""> 0 <> f(x) > 0.
Así, basta considerar un ε menor que b, para tener un entorno de a donde f(x) es mayor que 0.
Nota: El teorema también se cumple para valores negativos.Si la función tiene distinto signo en la mitad izquierda del entorno de a que en la mitad derecha, entonces su límite en a vale 0.
Teorema 1: Límite de una función constante.Límite de una función constante. Sea f(x)=k (constante), entonces:
Lím f(x) =
Lím k =
k
xa
xa
Límite de f(x)=x cuando xaSea f(x)=x. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando xa, para a=4.
Por la izquierda
Por la derecha
x
f(x)
x
f(x)
3.75
3.75
4.25
4.25
3.9375
3.9375
4.0625
4.0625
3.98437
3.98437
4.01562
4.01562
3.99609
3.99609
4.00391
4.00391
3.99902
3.99902
4.00098
4.00098
La tabla anterior sugiere el siguiente teorema:
Teorema 2: Límite de f(x)=x.Sea f(x)=x. Entonces:
Lim f(x) =
Lim x =
a
xa
xa
Teorema
Unicidad del límite de una función
Si una función tiene límite es único. H) Existe limx->af(x)=bT) b es único Demostración
La demostración se hace por reducción al absurdo.Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.Suponemos que b > c.
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε.
limx->af(x)=c => (por def. de límite) para todo Ec,ε existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε.
Consideremos un ε tal que Eb,ε ∩ Ec,ε = Ø.
Queremos que c+ε <> ε < (b - c)/2
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple
f(x) pertenece a Eb,ε
f(x) pertenece a Ec,ε
Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.Absurdo de suponer b ≠ c.Por lo tanto b = c.
Definición
Límites laterales
Límite de f(x) en el punto a por la derecha :limx->a+f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) - b < ε.Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :limx->a-f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) - b < ε.
Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ). x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a).
A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha.
Ejemplof(x) = x2 si x <= 2
-2x + 1 si x > 2
limx->2-f(x)=4limx->2+f(x)=-3No existe limx->2f(x)
Teorema
Existe el límite finito de una función <=> los límites laterales son iguales.H) limx->af(x)=bT) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b
Conservación del signo
Para valores de x suficientemente próximos al valor de tendencia, la función tiene el mismo signo que su límite.H) limx->af(x)=b > 0T) Existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > 0 Demostración:
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε. Es decir, b - ε < f(x) < b + ε.
Consideremos ε < b =""> 0 <> f(x) > 0.
Así, basta considerar un ε menor que b, para tener un entorno de a donde f(x) es mayor que 0.
Nota: El teorema también se cumple para valores negativos.Si la función tiene distinto signo en la mitad izquierda del entorno de a que en la mitad derecha, entonces su límite en a vale 0.
Teorema 1: Límite de una función constante.Límite de una función constante. Sea f(x)=k (constante), entonces:
Lím f(x) =
Lím k =
k
xa
xa
Límite de f(x)=x cuando xaSea f(x)=x. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando xa, para a=4.
Por la izquierda
Por la derecha
x
f(x)
x
f(x)
3.75
3.75
4.25
4.25
3.9375
3.9375
4.0625
4.0625
3.98437
3.98437
4.01562
4.01562
3.99609
3.99609
4.00391
4.00391
3.99902
3.99902
4.00098
4.00098
La tabla anterior sugiere el siguiente teorema:
Teorema 2: Límite de f(x)=x.Sea f(x)=x. Entonces:
Lim f(x) =
Lim x =
a
xa
xa
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