viernes, 14 de agosto de 2009

Teoremas sobre límites
Teorema
Unicidad del límite de una función

Si una función tiene límite es único. H) Existe limx->af(x)=bT) b es único Demostración
La demostración se hace por reducción al absurdo.Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.Suponemos que b > c.
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε.
limx->af(x)=c => (por def. de límite) para todo Ec,ε existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε.
Consideremos un ε tal que Eb,ε ∩ Ec,ε = Ø.
Queremos que c+ε <> ε < (b - c)/2
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple
f(x) pertenece a Eb,ε
f(x) pertenece a Ec,ε
Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.Absurdo de suponer b ≠ c.Por lo tanto b = c.
Definición
Límites laterales

Límite de f(x) en el punto a por la derecha :limx->a+f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) - b < ε.Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :limx->a-f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) - b < ε.
Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ). x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a).
A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha.
Ejemplof(x) = x2 si x <= 2
-2x + 1 si x > 2


limx->2-f(x)=4limx->2+f(x)=-3No existe limx->2f(x)
Teorema
Existe el límite finito de una función <=> los límites laterales son iguales.H) limx->af(x)=bT) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b

Conservación del signo
Para valores de x suficientemente próximos al valor de tendencia, la función tiene el mismo signo que su límite.H) limx->af(x)=b > 0T) Existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > 0 Demostración:
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε. Es decir, b - ε < f(x) < b + ε.
Consideremos ε < b =""> 0 <> f(x) > 0.
Así, basta considerar un ε menor que b, para tener un entorno de a donde f(x) es mayor que 0.
Nota: El teorema también se cumple para valores negativos.Si la función tiene distinto signo en la mitad izquierda del entorno de a que en la mitad derecha, entonces su límite en a vale 0.

Teorema 1: Límite de una función constante.Límite de una función constante. Sea f(x)=k (constante), entonces:

Lím f(x) =
Lím k =
k
xa
xa

Límite de f(x)=x cuando xaSea f(x)=x. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando xa, para a=4.
Por la izquierda
Por la derecha
x
f(x)
x
f(x)
3.75
3.75
4.25
4.25
3.9375
3.9375
4.0625
4.0625
3.98437
3.98437
4.01562
4.01562
3.99609
3.99609
4.00391
4.00391
3.99902
3.99902
4.00098
4.00098
La tabla anterior sugiere el siguiente teorema:

Teorema 2: Límite de f(x)=x.Sea f(x)=x. Entonces:
Lim f(x) =
Lim x =
a
xa
xa

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